« Agis en tant que professeur de mathématiques en 4e. Contexte : préparation d’une évaluation sur le théorème de Pythagore. Ta tâche : générer une fiche de révision complète. Instructions : la fiche doit contenir la définition, la formule, un exemple détaillé avec calculs, un exercice d’application, et la réciproque. Format : texte structuré avec titres, encadrés pour les formules. Utilise un langage adapté à des élèves de 4e. »
📐 1. Définition
Le théorème de Pythagore s’applique uniquement aux triangles rectangles.
Énoncé :
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
📏 2. Formule
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
🧮 3. Exemple détaillé
Enoncé : Soit un triangle \( MNP \) rectangle en \( M \), avec \( MN = 3 \) cm et \( MP = 4 \) cm. Calcule la longueur de l’hypoténuse \( NP \).
Solution :
- On identifie l’hypoténuse : c’est le côté opposé à l’angle droit, donc \( NP \).
- On applique le théorème : \[ NP^2 = MN^2 + MP^2 \]
- On remplace par les valeurs : \[ NP^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]
- On prend la racine carrée (longueur positive) : \[ NP = \sqrt{25} = 5\ \text{cm} \]
📌 Rédaction type : « Dans le triangle \( MNP \) rectangle en \( M \), d’après le théorème de Pythagore, on a \( NP^2 = MN^2 + MP^2 \). Donc \( NP^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \), d’où \( NP = \sqrt{25} = 5 \) cm. »
✏️ 4. Exercice d’application
Énoncé : Un triangle \( XYZ \) est rectangle en \( Y \). On donne \( XY = 6 \) cm et \( YZ = 8 \) cm. Calcule la longueur de l’hypoténuse \( XZ \).
Voir la correction
Correction :
Dans le triangle \( XYZ \) rectangle en \( Y \), d’après le théorème de Pythagore :
\( XZ^2 = XY^2 + YZ^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)
\( XZ = \sqrt{100} = 10 \) cm.
🔄 5. Réciproque du théorème
La réciproque sert à prouver qu’un triangle est rectangle lorsque l’on connaît les trois longueurs.
Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et le plus grand côté est l’hypoténuse.
Exemple : Un triangle a pour côtés \( AB = 5 \) cm, \( AC = 12 \) cm et \( BC = 13 \) cm.
Le plus grand côté est \( BC = 13 \). On calcule : \( BC^2 = 169 \) et \( AB^2 + AC^2 = 25 + 144 = 169 \). L’égalité est vérifiée, donc le triangle est rectangle en \( A \).